そもそも「おそれいります」とはどういう意味?漢字で「恐れ入ります」と記述するとの事。

ふと、何気なく使っている言葉が、突然気になりました。

「恐れ入ります(おそれいります)。」

よく考えてみると、「恐れ」=恐怖、怖いという気持ちが、入(はい)る?

ちょっと意味がハッキリしなかったので改めて調べてみました。[myadgg]

辞書で引いてみると、目上の人に対して、何かをしてもらい、恐縮すること。などと書いてあります。時代劇などでやられた側が「恐れ入った。」などとも使いますね。これは、力や技術が上の方に対して、敬意を表していると同時に、許しを乞うている。というようなニュアンスでしょうか。いずれにしても、目上(格上)の相手に対して敬意を払っている表現となっているようです。
「恐れ入ります」の使い方としては、「スイマセン」や「申し訳ありません」といった謝っている表現よりも、ひとつ軽い表現として使用するようです。

例を挙げると、

「お土産を頂きまして、申し訳ありません。」
「お土産を頂きまして、恐れ入ります。」

など、使い方の違いが分かりやすいでしょうか。
かしこまるけれども、謝るものではない。といったニュアンスですね。

少しの表現の違いで、すごく意味合いが変わってくる。
本当に日本語って奥が深いです。