「とりつく島（しま）がない」の意味は？

「とりつく暇（ひま）がない」と間違えがちな「とりつくしま（取り付く島）がない」ですが、意味としては、

• 愛想がなく刺々しい対応で、話ができる隙さえ与えない態度
• 頼れるモノが全くない様子

といった状況を、表しています。

「航海に出たものの、近くに立ち寄れるような島はなく、休息すら取れない。」といった状況が語源となっているようです。

例文として、
「父親に借金のお願いをしたが、取り付く島もなかった。」
などで、「聞く耳を持ってもらえない」と、言い換えても大丈夫なのではないでしょうか。